有理数域上两多项式之差的最小次数与加权平面树

加权二色平面树是指边被赋予正整数权重的二色平面树。顶点的次数定义为与该顶点关联的边的权重之和。利用研究绝对 Galois 群在嵌入黎曼曲面上的图的作用的 dessin d'enfants 理论，我们证明了加权平面树是一对互素复多项式 $A,B$ 的图形表示，满足：(a) $\deg A = \deg B$，且 $A$ 和 $B$ 具有相同的首项系数；(b) $A$（分别为 $B$）的根的重数等于对应树中黑色（分别为白色）顶点的次数；(c) 差 $A-B$ 的次数达到了给定 $A$ 和 $B$ 根的重数下可能的最小值。此外，如果所讨论的树由其黑色和白色顶点次数集合唯一确定（我们将此类树称为 unitrees），则相应的多项式定义在 $\mathbb{Q}$ 上。使得差 $A-B$ 的次数达到最小的多项式对 $A,B$，尤其是那些定义在 $\mathbb{Q}$ 上的多项式对，与数论中的一些重要问题相关。已有数十篇论文致力于研究它们。本文的主要结果是对 unitrees 的完整分类，这为我们提供了最大一类定义在 $\mathbb{Q}$ 上的此类多项式对。我们还研究了 Galois 作用在树上以及相应多项式对上的组合不变量，这使得我们能够找到更多定义在 $\mathbb{Q}$ 上的例子。在后续论文中，我们将计算对应于所有 unitrees 的多项式 $A,B$。