图递归族的塔特多项式及相关渐近极限函数

我们证明了关于图递归族的塔特多项式 $T(G,x,y)$ 的若干定理。除数学上的意义外，塔特多项式等价于统计物理中的一个重要函数，即 $q$ 态波茨模型的波茨模型配分函数 $Z(G,q,v)$，其中 $v$ 为依赖于温度的变量。我们确定了由 $m$ 个完全图 $K_r$ 的副本构成的链组成的环族图 $G[(K_r)_m,L=jn]$ 的塔特多项式结构，其中每对相邻 $K_r$ 之间的连接 $L$ 为连接 $jn$，且 $r$ 与 $m$ 任意。给出了 $r=3$（任意 $m$）情形的显式计算。考虑了在极限 $m \to \infty$ 下 $Z$ 零点连续聚点集。此外，我们给出了环族图的流多项式与可靠多项式这两种塔特多项式特例的计算，并讨论了在极限 $m \to \infty$ 下各自零点的连续聚点集。塔特多项式的特殊赋值给出了生成树与无环定向的计数。给出了两个定理以确定 $G[(K_r)_m,jn]$ 与 $G[(K_r)_m,id]$ 上的生成树数目，其中 $L=id$ 表示恒等连接。我们报告了方格点阵条的带无环定向数目的计算，并由此获得了该无环定向数目指数增长率的改进下界。