平面三角剖分的色多项式、Tutte 上界与色零点

Tutte 证明了若 $G_{pt}$ 是一个平面三角剖分，且 $P(G_{pt},q)$ 是其色多项式，则 $|P(G_{pt},\tau+1)| \le (\tau-1)^{n-5}$，其中 $\tau=(1+\sqrt{5} \,)/2$，$n$ 是 $G_{pt}$ 中的顶点数。在此，我们研究了各种平面三角剖分的比率 $r(G_{pt})=|P(G_{pt},\tau+1)|/(\tau-1)^{n-5}$。我们构造了依赖于参数 $m$ 的无限递归平面三角剖分族 $G_{pt,m}$，其中 $m$ 与 $n$ 呈线性关系，并证明若 $P(G_{pt,m},q)$ 仅涉及多项式的单一幂次，则当 $n \to \infty$ 时，$r(G_{pt,m})$ 呈指数级趋近于零。我们还构造了无限递归族，其中 $P(G_{pt,m},q)$ 是某些函数幂次的和，并证明对于这些族，当 $n \to \infty$ 时，$r(G_{pt,m})$ 可能趋近于一个非零有限常数。我们研究了 Tutte 上界与 $\tau+1$ 附近观测到的色零点之间的联系。我们报告了首个已知图，其最接近 $\tau+1$ 的零点不是实数，而是一对复共轭零点。最后，我们讨论了这些图族上 Potts 反铁磁体非零基态熵之间的联系。