平面三角剖分图色多项式的结构及其对色零点和渐近极限量的启示

我们分析了单参数和多参数族平面三角剖分图 $G_{pt,\vec m}$ 的色多项式 $P(G_{pt,\vec m},q)$ 的结构和性质，其中 ${\vec m} = (m_1,...,m_p)$ 是整数参数向量。我们利用这些研究了 $|P(G_{pt,\vec m},\tau+1)|$ 与 Tutte 上界 $(\tau-1)^{n-5}$ 的比值，其中 $\tau=(1+\sqrt{5} \ )/2$，$n$ 是 $G_{pt,\vec m}$ 中的顶点数。特别是，我们计算了对于各类平面三角剖分族，当 $n \to \infty$ 时该比值的极限值。我们还利用计算结果研究了这些色多项式的零点。我们研究了一大类 $p=1$ 和 $p=2$ 的族 $G_{pt,\vec m}$，并表明它们具有如下形式结构：对于 $p=1$，$P(G_{pt,m},q) = c_{_{G_{pt}},1}\lambda_1^m + c_{_{G_{pt}},2}\lambda_2^m + c_{_{G_{pt}},3}\lambda_3^m$，其中 $\lambda_1=q-2$，$\lambda_2=q-3$，且 $\lambda_3=-1$；对于 $p=2$，$P(G_{pt,\vec m},q) = \sum_{i_1=1}^3 \sum_{i_2=1}^3 c_{_{G_{pt}},i_1 i_2} \lambda_{i_1}^{m_1}\lambda_{i_2}^{m_2}$。我们推导了系数 $c_{_{G_{pt}},\vec i}$ 的性质，并表明当其中一个或多个 $m_i \to \infty$ 时，$P(G_{pt,\vec m},q)$ 拥有一个趋近于 $(1/2)(3+\sqrt{5} \ )$ 的实色零点。给出了推广至 $p \ge 3$ 的情形。此外，我们提出了一个单参数平面三角剖分族，其实零点在 $m \to \infty$ 时从下方趋近于 3。讨论了其对 Potts 反铁磁体基态熵的启示。