Zeta 形式与局部族指标定理

对于一个与流形纤维化 M--> B 相关的、具有微分形式系数的可容许椭圆型拟微分算子光滑族 F，我们证明在光滑微分形式的 de-Rham 代数中存在自然的 zeta 形式 z(F,s) 与 zeta-行列式形式 det(F)，推广了经典的单算子谱 zeta 函数与行列式。在 F 为超联络的曲率时，zeta 形式是恰当的，将 Atiyah-Bott-Seeley 关于逐点指标的 zeta 函数公式推广到族，并等价于分次 Chern 特征的过渡公式。zeta-行列式形式导致分次 zeta-Chern 类形式的定义。对于一个具有指标丛 Ind(D) 的相容 Dirac 算子族 D，我们证明一个过渡公式，导出表示 Chern 类 c(Ind(D)) 的局部密度，用 A-hat 亏格与扭曲 Chern 特征表示。在整体上，亚纯延拓的 zeta 形式与 zeta 行列式形式仅作为特征类映射 K(B)->H*(B) 在 K-理论层面存在。