与 Selberg 迹公式相关的 Zeta 函数与正则化行列式

对于具有任意酉表示的一般第一类 Fuchsian 群，我们定义了与 Selberg 迹公式中恒等、双曲、椭圆和抛物共轭类贡献相关的 zeta 函数。我们用自守 Laplacian 的正则化行列式表示 Selberg zeta 函数。我们还用二维球面上 Laplacian 的正则化行列式表示恒等贡献的 zeta 函数。我们将椭圆和抛物贡献的 zeta 函数用谐振子的一维 Schrödinger 算子的特定正则化行列式表示。我们将自守 Laplacian 的行列式分解为行列式的乘积，其中每个因子都是与 Selberg 迹公式相关的 zeta 函数的行列式表示。然后，我们推导出一个恒等式，连接了与算术群相关的不同黎曼曲面上的自守 Laplacian 的行列式。最后，通过使用 Jacquet-Langlands 对应，我们将四元数单位群的自守 Laplacian 的行列式与某些同余子群的自守 Laplacian 的行列式的乘积联系起来。