与具有有限维酉表示的余有限富克斯群相关的超 zeta 函数与正则化行列式

设 $M$ 为一个有限体积、非紧双曲黎曼曲面，可能带有椭圆不动点，并设 $\chi$ 为 $M$ 的基本群的一个有限维酉表示。设 $\Delta$ 为双曲拉普拉斯算子，作用在对应于 $\chi$ 的 $M$ 上平坦丛的光滑截面上。由 $\Delta$ 的谱理论，存在三个不同的数列：第一个来自 $L^{2}$ 特征函数的特征值，第二个来自与连续谱相关的共振，第三个为负整数集。利用这些谱数据序列，我们采用超 zeta 正则化方法，引入两个超 zeta 函数 $\Z_-(s,z)$ 和 $\Z_+(s,z)$，它们以可用来定义 $\Delta-z(1-z)I$ 的正则化行列式的方式编码 $\Delta$ 的谱。所得 $\Delta-z(1-z)I$ 的正则化行列式用塞尔伯格 zeta 函数表示的公式（见定理 5.3）编码了对称性 $z\leftrightarrow 1-z$，由于此前正则化行列式的定义不同，该对称性在以往工作中未能显现。