形变球面上的谱分析与 zeta 行列式

我们考虑一类奇异黎曼流形，即形变球面 $S^N_k$，定义为经典球面带有一族单参数奇异黎曼结构 $g[k]$，当 $k=1$ 时退化为经典度量。在给出度量拉普拉斯算子 $\Delta_{S^N_k}$ 的特征值与特征函数的显式公式后，我们研究相关的 zeta 函数 $\zeta(s,\Delta_{S^N_k})$。我们引入一种通用方法处理某些类的单重与双重抽象 zeta 函数，推广了出现在 $\zeta(s,\Delta_{S^N_k})$ 中的那些。该方法的一个应用使得我们可以获得这些 zeta 函数在所有维度上的主要 zeta 不变量，特别是 $\zeta(0,\Delta_{S^N_k})$ 和 $\zeta'(0,\Delta_{S^N_k})$。我们给出了低维情形 $N=2,3$ 下 zeta 正则化行列式的显式公式，从而推广了 Dowker \cite{Dow1} 的结果，并计算了这些行列式按形变参数 $k$ 幂次展开的首项系数。