Morse形式的zeta不变量

设 $\eta$ 为闭黎曼 $n$-流形 $(M,g)$ 上的一个闭实 1-形式。令 $d_z$、$\delta_z$ 和 $\Delta_z$ 为诱导的 Witten 型扰动的 de~Rham 导数、余导数和拉普拉斯算子，由 $z=\mu+i\nu\in\mathbb C$ ($\mu,\nu\in\mathbb{R}$, $i=\sqrt{-1}$) 参数化。令 $\zeta(s,z)$ 为 $s\in\mathbb{C}$ 的 zeta 函数，定义为函数 $\zeta(s,z)=\operatorname{Str}({\eta\wedge}\,\delta_z\Delta_z^{-s})$ 在 $\Re s\gg0$ 时的亚纯延拓。我们证明 $\zeta(s,z)$ 在 $s=1$ 处光滑，并建立了用相关热半群表示 $\zeta(1,z)$ 的公式。对于一类 Morse 形式，当 $\mu\to+\infty$ 时 $\zeta(1,z)$ 在 $\nu$ 上一致收敛到某个 $\mathbf{z}\in\mathbb{R}$。我们用辅助 Smale 类梯度向量场 $X$ 的瞬子以及由 $g$ 定义的 $TM$ 上的 Mathai-Quillen 电流来描述 $\mathbf{z}$。任意实 1-上同调类都有一个满足该假设的表示 $\eta$。若 $n$ 为偶数，我们可通过扰动 $g$、$\eta$ 和 $X$ 任意规定 $\mathbf{z}$ 的实值，并在 $\mu\to-\infty$ 时达到相同极限。这被用于定义和描述由 $g$ 和 $\eta$ 诱导的某些缓增分布。这些分布在另一篇出版物中作为来自简单叶状流迹公式中被保留叶的贡献出现，给出了 C.~Deninger 一个问题的解。