与有限群的花环积的表示zeta函数

设G是一个群，对于所有n，其n维不可约复线性表示的个数r_n(G)有限。令$\zeta(G,s) = \sum_{n=1}^{\infty} r_n(G) n^{-s}$为其表示zeta函数。首先，当G是H与作用在有限集X上的置换群Q的置换花环积时，我们建立了一个用H和Q的子群的zeta函数以及Q的子群作用下X的轨道划分格上的Möbius函数表示$\zeta(G,s)$的公式。然后，我们考虑群W(Q,k)，它是Q的k次迭代花环积，以及几个相关的无限群W(Q)，包括一个profinite群、一个局部有限群和几个有限生成群，它们都与自身和Q的花环积同构。在合适的假设下（特别是Q应该是完美的），我们证明了对所有n，r_n(W(Q))是有限的，并且我们建立了Dirichlet级数$\zeta(W(Q),s)$具有有限且正的收敛横坐标s_0。此外，函数$\zeta(W(Q),s)$满足一个涉及$\zeta(W(Q),es)$（e=1,...,|X|）的显著函数方程。作为这一结果，我们展示了该函数的一些性质，特别是$\zeta(W(Q),s)$在s_0处有一个奇点，在s_0处有一个有限值，并且在s_0附近有一个Puiseux展开。最后，我们报告了关于阶数为60和168的单群Q的一些数值计算结果。