有限生成幂零群的表示ζ函数的一致解析性质

设$G$为有限生成无挠幂零群。$G$的表示ζ函数$\zeta_G(s)$枚举$G$的有限维不可约复表示的扭曲同构类。我们证明$\zeta_G(s)$具有有理收敛横坐标$a(G)$，并可亚纯延拓到$a(G)$的左侧，并且在直线$\{s\in\mathbb{C} \mid \textrm{Re}(s) = a(G)\}$上，延拓后的函数除在$s=a(G)$处有一个极点外是全纯的。一个陶伯定理给出了关于$G$的表示增长的精确渐近结果，该结果由该极点的位置与阶数表示。我们将这些结果作为更一般结果的推论获得，该一般结果建立了形如$\mathbf{G}(\mathcal{O})$的有限生成幂零群的表示ζ函数的一致解析性质，其中$\mathbf{G}$是根据数域的整数环$\mathcal{O}$上的幂零李格定义的幂幺群概型。这尤其使我们能够表明，此类群的表示ζ函数的收敛横坐标及其极点阶数是$\mathbf{G}$的不变量，与$\mathcal{O}$无关。