关于幂零群的多项式子群增长度

设 $N$ 为有限生成幂零群。$N$ 的子群 zeta 函数 $\zeta_N^{\leq}(s)$ 与正规 zeta 函数 $\zeta_N^\lhd(s)$ 是枚举 $N$ 的有限指数子群或有限指数正规子群的 Dirichlet 级数。我们给出了关于其收敛横坐标 $\alpha_N^\leq$ 和 $\alpha_N^\lhd$ 的结果，这两个横坐标也分别被称为 $N$ 的多项式子群增长度和多项式正规子群增长度。我们首先证明了当限制在固定 Hirsch 长度的无挠幂零群类时，函数 $N\mapsto \alpha_N^\leq$ 和 $N\mapsto\alpha_N^\lhd$ 的一些上界。然后我们证明，如果两个有限生成幂零群具有同构的 $\mathbb{C}$-Mal'cev 完备，则它们的子群（或正规）zeta 函数具有相同的收敛横坐标。这通过 Mal'cev 对应，从我们为环的 zeta 函数所建立的类似结果中得出。该结果是通过证明由 du Sautoy 和 Grunewald 引入的某些 Igusa 型局部 zeta 函数的 Euler 乘积的收敛横坐标在基变换下保持不变而获得的。我们还将此方法应用于表述并证明关于虚拟幂零群的结果版本，作为我们关于幂零群结果的推广。作为我们关于环的 zeta 函数结果的一个附带应用，我们给出了一个关于数域中阶的分布的结果。