准半简单 profinite 群的表示增长

profinite 群 $G$ 的表示 zeta 函数编码了连续不可约复表示的分布情况作为维数的函数。其收敛轴 $\alpha(G)$ 描述了 $G$ 表示增长的多项式次数。在准半简单 profinite 群中，我们刻画了具有多项式表示增长（PRG）的群，并证明whether 该群 $G$ 是否具有 PRG 仅取决于其半简单部分 $G/\mathrm{Z}(G)$。此外，我们表明，对于具有均匀受限 Lie 秩的准半简单 profinite 群 $G$，增长次数满足 $\alpha(G) = \alpha(G/\mathrm{Z}(G))$。我们提供一种方法，为任意给定的正实数 $\varrho$ 生成具有 PRG 且 $\alpha(G) = \varrho$ 的准半简单 profinite 群。该方法允许在 $G$ 的组成因子中包含有限简单 Lie 型群。进一步，我们可以安排群 $G$ 为适当离散群 $\Gamma$ 的profinite 完成，使得群 $\Gamma$ 与 $G$ 拥有相同的表示 zeta 函数。