与紧致 p-adic 李群允许表示相关的 Zeta 函数

设 $G$ 为一个 profinite 群。$G$ 在 $\mathbb{C}$ 上的强允许光滑表示 $\rho$ 分解为具有有限重数 $m_\pi(\rho)$ 的不可约表示的直和 $\rho \cong \bigoplus_{\pi \in \mathrm{Irr}(G)} m_\pi(\rho) \, \pi$，使得对于每个正整数 $n$，维度为 $n$ 的不可约成分的数量 $r_n(\rho)$ 是有限的。这类例子自然产生于非阿基米德局部域上约化群的表示理论中。在本文中，我们开始研究与这种表示 $\rho$ 相关的 Dirichlet 生成函数 $$\zeta_\rho (s) = \sum_{n=1}^\infty r_n(\rho) n^{-s} = \sum_{\pi \in \mathrm{Irr}(G)} \frac{m_\pi(\rho)}{(\dim \pi)^s}$$。我们的主要焦点是紧致 $p$-adic 李群 $G$ 的表示 $\rho = \mathrm{Ind}_H^G(\sigma)$，这些表示通过归纳函子由闭子群 $H$ 的有限维表示 $\sigma$ 产生。除了一系列基础结果（包括用 $p$-adic 积分进行的描述）外，我们还为 potent pro-$p$ 群的全局定义诱导表示族的 zeta 函数建立了有理性结果和函数方程。我们证明的一个关键要素是 Hironaka 的奇点消解，它为相关的 zeta 函数提供了 Denef 型公式。具体而言，我们考虑了从抛物子群诱导出的约化 $p$-adic 群的开紧致子群的表示。显式计算是通过互补技术进行的：(i) 通过在球面均匀根树上的距离传递作用适用的几何方法，以及 (ii) $p$-adic Kirillov 轨道方法。方法 (i) 与 Gelfand 对的概念密切相关，并且在正定特征下同样有效。