$\mathfrak{K}$-分裂代数群局部 Zeta 函数的统一性与函数方程

我们研究了定义在 $\mathfrak{K}$ 上的代数群 $\mathcal{G}$ 的局部 zeta 函数，该群连同对于 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张 $\mathfrak{K}$ 的忠实 $\mathfrak{K}$-有理表示 $\rho$。这些函数由 $\mathcal{G}$ 的 $\mathfrak{p}$-进点上的积分给出，这些点由 $\mathfrak{K}$ 的素元 $\mathfrak{p}$ 通过 $\rho$ 确定。我们证明，对于所有其未幂根满足特定提升性质的 $\mathfrak{K}$-分裂群，局部 zeta 函数几乎是统一的。如果 $\mathcal{G}$ 是约化的，则该性质自动满足。我们提供了关于 $\mathcal{G}$ 和 $\rho$ 不变量的进一步判据，保证局部 zeta 函数对于 $\mathfrak{K}$ 的几乎所有素元满足函数方程。我们通过使用 Iwahori 和 Matsumoto [IM] 的 $\mathfrak{p}$-进 Bruhat 分解来获得这些结果，将 zeta 函数表示为与 $\mathcal{G}$ 相关的 Weyl 群 $W$ 上的加权和，其项为多面体锥格点上的生成函数。函数方程反映了 Weyl 群的对称性与组合对象互反性之间的相互作用。我们构造了违反第二个结构判据的具有表示的群族，其局部 zeta 函数不满足函数方程。我们的工作推广了 Igusa [Igu] 以及 du Sautoy 和 Lubotzky [dSL] 的结果，并对有限生成无挠幂零群的 zeta 函数具有启示意义。