有限 CW 复形的 KU-局部 zeta 函数

从有理数上光滑射影簇的 Hasse-Weil zeta 函数出发。将簇替换为有限 CW 复形，将平展上同调替换为复 K 理论 $KU^*$，并将 $p$-Frobenius 算子替换为 K 理论上的第 $p$ 个 Adams 运算。这一简单想法产生了一种有限 CW 复形的“ $KU$-局部 zeta 函数”。对于一大类 K 理论无挠的有限 CW 复形 $X$，我们证明该 zeta 函数可解析延拓为复平面上的亚纯函数，具有优良的函数方程，且其左半平面上的特殊值恢复了 $X$ 在除去 $2$ 以外的 $KU$-局部稳定同伦群。随后我们考虑一个更一般且精细的 $KU$-局部 zeta 函数版本，其适用于 K 理论具有非平凡挠的有限 CW 复形 $X$。这一更精细的 $KU$-局部 zeta 函数涉及 $KU^0(X)$ 挠子群的复表示的 $L$-函数之积，类似于数域的 Dedekind zeta 函数分解为 Galois 群的复表示的 Artin $L$-函数之积。对于一大类此类有限 CW 复形 $X$，我们证明了解析延拓，并表明左半平面上的特殊值恢复 $X$ 在除去 $2$ 以外的 $KU$-局部稳定同伦群，当且仅当 $KU^0(X)$ 挠子群上的骨架 filtration 完全分裂。