基扩张下幂零群与李环的准同构zeta函数

我们考虑群 $\Gamma(\mathcal{O}_K)$ 的准同构zeta函数，其中 $\Gamma$ 是定义于 $\mathbb{Z}$ 上的幂单群概形，而 $K$ 取遍所有数域。在某些条件下，我们证明这些函数具有精细的欧拉分解，其因子由 $K$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 索引，且仅依赖于 $\Gamma$ 的结构、次数 $[K : \mathbb{Q}]$ 以及剩余域 $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$ 的基数。我们证明这些因子满足某种一致有理性和对 $[K : \mathbb{Q}]$ 的依赖性。给出了若干幂单群族的显式计算。其中包括一个涉及超八面体群上置换统计的看似新颖的恒等式。