Étale 群胚、eta 不变量与指标理论

设 $\Gamma$ 为离散有限生成群。设 $\hat{M}\to T$ 为一个 $\Gamma$-等变纤维化,其纤维微分同胚于一个固定的带边偶维流形 $Z$。我们假定 $\Gamma\to \hat{M}\to \hat{M}/\Gamma$ 是带边紧流形的 Galois 覆盖。设 $(D^+ (\theta))_{\theta\in T}$ 为一族 $\Gamma$-等变的 Dirac 型算子。在边界族为 $L^2$-可逆的假设下,我们在叉积代数的 K-理论中定义一个指标类,$K_0 (C^0 (T)\rtimes_r \Gamma)$。若进一步 $\Gamma$ 为多项式增长的,我们通过将指标类与适当的循环上闭链配对来定义高阶指标。我们的主要结果便是这些高阶指标的一个公式:该公式的结构如同 Atiyah、Patodi 与 Singer 的开创性工作,包含内部几何贡献以及以边界族所关联的高阶 eta 不变量形式给出的边界贡献。在类似假设下,我们将定理推广到任意 $G$-真流形,其中 $G$ 为 \'etale 群胚。我们利用这一推广在某些带边叶状结构上建立了高阶 Atiyah-Patodi-Singer 指标公式。我们工作的基础在于对 Melrose $b$-伪微分演算的适当推广,以及 Gorokhovsky 和 Lott 最近给出的 $G$-真流形上指标定理的超联络证明。