恰当作用下等变 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理 I：指标公式

考虑 unimodular 局部紧群 $G$ 在带边黎曼流形 $M$ 上的恰当等距作用，使得 $M/G$ 紧致。对 $M$ 上的等变椭圆算子 $D$ 及元素 $g \in G$，我们通过 $D$ 的拟解及与 $g$ 相关的迹定义数值指标 $\operatorname{index}_g(D)$。我们证明该指标的等变 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理。我们首先陈述该定理成立的一般分析条件，然后证明当 $g=e$ 为单位元时；当 $G$ 为有限生成离散群且 $g$ 的共轭类具有多项式增长时；以及当 $G$ 为连通实半单线性李群且 $g$ 为半单元素时，这些条件均满足。在 $M$ 紧致且 $G$ 平凡的经典情形中，我们的论证可化为对原始 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理相对简短而简单的证明。在本系列第二部分中，我们证明在特定条件下，$\operatorname{index}_g(D)$ 可通过由 $g$ 的共轭类上轨道积分定义的迹从 $D$ 的 $K$-理论指标中恢复。