恰当作用的等变 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理 II：$K$ 理论指标

考虑一个单模局部紧群 $G$ 在带边界的黎曼流形 $M$ 上的恰当等距作用，使得 $M/G$ 紧。则在适当边界条件下，$M$ 上的等变 Dirac 型算子 $D$ 在 $G$ 的约化群 $C^*$-代数 $C^*_rG$ 的 $K$-理论中具有一个等变指标 $\operatorname{index}_G(D)$。这是 Baum-Connes 解析装配映射与（等变）Atiyah-Patodi-Singer 指标的共同推广。在本系列的第一部分中，针对元素 $g \in G$，利用 $D$ 的拟逆和关联于 $g$ 的迹定义了数值指标 $\operatorname{index}_g(D)$，并得到了该指标的 Atiyah-Patodi-Singer 型指标公式。在本文中，我们证明在某些条件下，对于由 $g$ 的共轭类上的轨道积分定义的迹 $\tau_g$，有 $\tau_g(\operatorname{index}_G(D)) = \operatorname{index}_g(D)$。这意味着第一部分的指标定理给出了关于 $K$ 理论指标 $\operatorname{index}_G(D)$ 的信息。它也表明 $\operatorname{index}_g(D)$ 是一个同伦不变量。