规范不变算子的指标与 Dixmier-Douady 不变量

设 $\GR \to B$ 为一个紧李群丛，作用于纤维丛 $Y \to B$。在本文中我们引入并研究规范等变 $K$-理论群 $K_\GR^i(Y)$。这些群满足等变 $K$-理论群的通常性质，但也由于丛 $\GR \to B$ 的拓扑非平凡性而出现一些新现象。作为应用，我们定义对 $\GR \to B$ 作用不变的椭圆算子族 $(P_b)_{b \in B}$ 的规范等变指标，在此方法中，它是 $K_\GR^0(B)$ 中的一个元素。然后我们给出规范等变指标的另一种定义，作为 $K_0(C^*(\GR))$（Banach 代数 $C^*(\GR)$ 的 $K$-理论群）中的一个元素。我们证明 $K_0(C^*(\GR)) \simeq K^0_\GR(\GR)$，并且规范等变指标的两种定义等价。代数 $C^*(\GR)$ 是某个具有非平凡 Dixmier-Douady 不变量的 $C^*$-代数域的连续截面代数。因此规范等变 $K$-理论群是扭曲 $K$-理论群的例子，后者近来在 Ramond-Ramond 场的研究中被证明是有用的。