非交换黎曼主丛上的规范理论

我们提出了一种在主 $G$-谱三元组上研究规范理论的新的一般方法，其中 $G$ 是紧连通李群。我们引入了 $G$-$C^\ast$-代数的垂直黎曼几何概念，并证明了所得的非交换轨道族 Kostant 三次 Dirac 算子定义了在主 $G$-作用情形下的自然无界 $KK^G$-循环。然后，我们引入主 $G$-谱三元组的概念，并特别证明任何此类谱三元组都允许相对于这样一个循环在无界 $KK^G$-理论中的典范分解：除余项外，总几何是由编码垂直几何和底层主联络的非交换超联络对基本几何的扭曲。利用这些概念，我们 formulate 了一种规范理论方法，它明确地将经典情形推广到一个群oid 上循环，并且通常与此分解兼容；在单位元情形下，它正确地给出了具有仿射规范作用的非交换主联络的真实仿射空间。我们的定义涵盖了所有局部紧经典主 $G$-丛，并且与 $\theta$-变形兼容；特别地，它们涵盖 $\theta$-变形四元数 Hopf 纤维化 $C^\infty(S^7_\theta) \hookleftarrow C^\infty(S^4_\theta)$ 作为一个非交换主 $\operatorname{SU}(2)$-丛。