多项式增长群的二次高阶不变量与循环上同调

我们证明，若 $\Gamma$ 是一个多项式增长群，则其群代数上的每个非局部化循环余链都有一个多项式增长的代表元。对于每个非局部化余链，我们由此定义了 Lott 非局部化 eta 不变量的一个高阶类似物，并证明了它对可逆微分算子的收敛性。我们还利用 Xie 和 Yu 的行列式映射构造证明，若 $\Gamma$ 是多项式增长的，则在非局部化循环余链与 $C^*$-代数二次高阶不变量的 $K$-理论类之间存在一个良定义的配对。当这个 $K$-理论类是一个可逆微分算子的高阶 rho 不变量时，我们证明该配对恰好就是前述 Lott 非局部化 eta 不变量的高阶类似物。作为此等价性的一个应用，我们给出了一个非局部化高阶 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理，其中 $M$ 是一个紧致带边自旋流形，配备有正数量曲率度量 $g$，且其基本群 $\Gamma=\pi_1(M)$ 是有限生成且多项式增长的。