Eta 上循环、相对配对与 Godbillon-Vey 指标定理

我们证明了带边叶状丛上纵向 Dirac 算子的 Godbillon-Vey 指标公式；特别地，我们在边界叶状结构上定义了一个 Godbillon-Vey eta 不变量；这是类型 III 叶状结构上纵向 Dirac 算子的一个次级不变量。此外，以 Godbillon-Vey 指标作为关键例子，我们解释了一种处理带边几何结构上高指标理论的新方法。该方法主要依赖于 Banach 代数正合序列 $0\to J\to A\to B\to 0$ 的 K 理论与循环上同调的绝对配对与相对配对之间的相互作用，其中 J 在叶状结构的 C*-代数中稠密且全纯封闭，而 B 仅依赖于边界数据。特别重要的是为配对 $A\to B$ 定义了一个相对循环上循环 $(\tau_{GV}^r,\sigma_{GV})$；$\tau_{GV}^r$ 是通过对通常的 Godbillon-Vey 循环上循环 $\tau_{GV}$ 进行 Melrose 式正则化得到的 A 上的循环上链；$\sigma_{GV}$ 是 B 上的一个循环上循环，通过一个涉及 $\tau_{GV}$ 和一个特定的 1-循环上循环（Roe 的 1-上循环）的悬垂过程得到。我们将 $\sigma_{GV}$ 称为与 $\tau_{GV}$ 相关的 eta 上循环。通过定义一个相对指标类 $\Ind (D,D^\partial)\in K_* (A,B)$ 并建立等式 $<\Ind (D),[\tau_{GV}]>=<\Ind (D,D^\partial), [\tau^r_{GV}, \sigma_{GV}]>$，我们得到了 Atiyah-Patodi-Singer 公式。Godbillon-Vey eta 不变量 $\eta_{GV}$ 通过 eta 上循环 $\sigma_{GV}$ 获得。