横可平行叶状的 Godbillon--Vey 不变量的变分

我们考虑一个 $(2q+1)$ 维光滑流形 $M$，其上装备有 $(q+1)$ 维（先验不可积）分布 ${\cal D}$ 和一个 $q$-向量场 ${\bf T}=T_1\wedge\ldots\wedge T_q$，其中 $\{T_i\}$ 是横截于 ${\cal D}$ 的线性无关向量场。利用一个 $q$-形式 $\omega$ 使得 ${\cal D} = \ker\,\omega$ 且 $\omega({\bf T})=1$，我们构造了一个类似于定义 $(q+1)$ 维叶状结构的 Godbillon--Vey 类的 $(2q+1)$-形式，并说明该形式如何依赖于 $\omega$ 和 ${\bf T}$。对于 $M$ 上的相容黎曼度量 $g$，我们用 ${\bf T}$ 以及 ${\cal D}$ 和法向分布 ${\cal D}^\bot$ 的外在几何表达此 $(2q+1)$-形式。我们找到了相关泛函的欧拉-拉格朗日方程：在 $(M,g)$ 上关于变量 $(\omega,{\bf T})$ 的，以及在 $(M,{\cal D})$ 上关于变量度量的（当分布/叶状结构和形式在“奇点集”外定义且在某些积分收敛的附加假设下）。我们证明对于调和分布 ${\cal D}^\bot$ 这样的 $(\omega,{\bf T})$ 是临界的，刻画了 ${\cal D}$ 可积时的临界对，并找到了当变分在叶状结构之间时临界对的充分条件，计算了指标形式并考虑了扭曲积、Reeb 叶状结构和横全纯流中的临界叶状结构例子。