具平面场的三维流形的 Godbillon-Vey 型不变量

我们考虑装备有任意（先验）不可积分布（平面场）${\cal D}$ 和横截于 ${\cal D}$ 的向量场 $T$ 的三维光滑流形 $M$。利用满足 ${\cal D} = \ker\,\omega$ 且 $\omega(T)=1$ 的 1-形式 $\omega$，我们构造了一个类似于定义叶状结构 Godbillon-Vey 类的 3-形式，并展示了该形式如何依赖于 $\omega$ 和 $T$。对于 $M$ 上的相容 Riemann 度量，我们用法曲线的曲率和挠率以及 ${\cal D}$ 的非对称第二基本形式来表示该 3-形式。我们推导了相关泛函的 Euler-Lagrange 方程：针对 $M$ 上可变的 $({\cal D},T)$，以及针对 $(M,{\cal D})$ 上可变的 Riemann 或 Randers 度量。我们表明，对于测地向量场 $T$（例如接触结构），这样的 $({\cal D},T)$ 是临界的；刻画了当 ${\cal D}$ 可积时的临界对，并证明了这些临界对并非极值点。