关于与不可积平面场相切的某些向量场的动力学

设 $\mathcal{E}^3\subset TM^n$ 为 $n$ 维光滑流形上的光滑 $3$-分布，$\mathcal{W}\subset\mathcal{E}$ 为线场且满足 $[\mathcal{W},\mathcal{E}]\subset\mathcal{E}$。在某些可定向性假设下，我们给出了存在平面场 $\mathcal{D}^2$ 使得 $\mathcal{W}\subset\mathcal{D}$ 且 $[\mathcal{D},\mathcal{D}]=\mathcal{E}$ 的必要条件。此外，我们研究了 $\mathcal{W}$ 的截面为非奇异Morse-Smale的情形，并得到了 $\mathcal{D}$ 全局存在的充分条件。作为推论，我们给出了 $3$-流形上的非奇异向量场 $W$ 成为接触结构 $\mathcal{D}$ 的Legendrian向量的条件。利用类似的技术，我们还可以研究 $TM^4$ 中的偶接触结构 $\mathcal{E}$ 何时由Engel结构 $\mathcal{D}$ 诱导。