射影空间中的接触曲线

奇维射影空间 $\mathbb{P}^{2n-1}$ 容许一个由 $\mathbb{C}^{2n}$ 中辛形式决定的不可积超平面分布所产生的接触结构。我们的兴趣对象是 $\mathbb{P}^3$ 中与该接触分布相切的 d 次有理曲线的集合。此类曲线称为接触曲线或 legendrian 曲线。为探索接触曲线的几何，我们利用 Kontsevich 稳定映射 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^3,d)$ 构造参数空间 $\mathcal{L}_d$，并赋予其代数栈结构。栈上的交理论使我们能在该空间中定义与和 $2d+1$ 条直线关联的 d 次接触曲线数目相关的虚拟不变量 $N_d$。利用源于 Bott 局部化公式的图组合与划分，我们确定了 $N_d$ 的一般公式。我们显式计算了直至 4 次的接触曲线——确认了已知的接触直线与圆锥曲线情形，并给出了三次与四次曲线的新数值。最后，我们讨论了这些不变量的计数意义，其对 $d>4$ 仍为猜想。