与给定曲线五重相切的平面二次曲线的数目

给定一条 $d$ 次的一般平面曲线 $Y$，我们计算与 $Y$ 五重相切的不可约平面二次曲线的数目 $n_d$。该问题此前由 Vainsencher 用经典方法研究过，但当时未能解决，因为计算中出现过多无法分析的非枚举修正项。在我们当前的方法中，我们将数目 $n_d$ 用相对 Gromov-Witten 不变量表示，这些不变量随后可直接计算。作为一个应用，我们考虑由沿六次曲线分支的 $P^2$ 的双覆盖给出的 K3 曲面。我们计算该 K3 曲面中同调类为 $P^2$ 中二次曲线拉回类的有理曲线的数目，并将此数目与相应的 Yau-Zaslow K3 不变量比较。这给出了一个非本原同调类的此类 K3 不变量的例子。