关于平面曲线的波动不变量

代数几何中的一般问题之一是算法性地确定由显式多项式方程定义的给定几何对象（例如曲线或曲面）是否满足给定性质（例如具有奇点或其他感兴趣的显著特征）。此类问题的一个经典例子由 A.Cayley 和 G.Salmon 于 1852 年描述，即确定给定的次数 r > 3 的平面曲线是否具有波动点——即切线与曲线以四重相交的点。他们证明了存在一个次数为 6(r - 3)(3r - 2) 的不变量，当且仅当曲线具有波动点时该不变量为零。在本文中，我们给出了四次曲线 (r=4) 和五次曲线 (r=5) 情况下该不变量的显式公式，将其分别表示为大小为 21×21 和 36×36 的具有多项式条目的矩阵的行列式。