有理束面上任意 genera 的曲线计数

本文我们研究了参数化有理束面 \fn 上的曲线的 Severi variety 的几何。我们计算通过 \fn 上适当数量的固定一般点的此类曲线的数量，以及这些曲线中不可约曲线的数量。这些数字称为 Severi 度;它们是 Hilbert 方案各组成部分的度。由于 (i) \fn 可以变形到 \eff_{n+2}，(ii) Gromov-Witten 不变式是变形不变的，(iii) \eff_0 和 \eff_1 的 Gromov-Witten 不变式是 enumerative 的，Theorem \ref{irecursion} 计算所有 \fn 的 genus g Gromov-Witten 不变式。（genus 0 情形为人所熟知。）论证在足够的一般性下也适用于以 L. Caporaso 和 J. Harris 风格计数平面曲线，并为计算在平面上最多 5 个点（在后续论文中） blow-up 的 higher genus Gromov-Witten 不变式奠定了基础。