Hirzebruch 曲面 Severi 度数的 Fock 空间方法

经典的 Severi 度数计算的是穿过曲面上某些一般点的固定亏格和类的代数曲线数量。在本文中，我们研究了 Hirzebruch 曲面 $F_k$ 的 Severi 度数以及几种类型的 Gromov-Witten 不变量，以及这些数值之间的关系。对于每个 Hirzebruch 曲面 $F_k$，我们关联一个算子 $\mathsf{M}_{F_k} \in \mathcal{H}[\mathbb{P}^1]$，其作用于 Fock 空间 $\mathcal{F}[\mathbb{P}^1]$。我们在此研究的 $F_k$ 上每种曲线计数理论的生成函数都可以用单个算子 $\mathsf{M}_{F_k}$ 的指数来表示，而 $\mathbb{P}^2$ 上的计数可以用 $\mathsf{M}_{F_1}$ 的指数来表示。在此框架中可以恢复几个先前的结果，包括 Caporaso 和 Harris 关于 $\mathbb{P}^2$ 上枚举曲线计数的递归，Vakil 对 $F_k$ 的推广，以及 Abramovich-Bertram 关于 $F_0$ 和 $F_2$ 上枚举曲线计数之间的关系。我们证明了 $F_1$ 和 $F_3$ 的 Abramovich-Bertram 类比。我们还获得了 $F_k$ 上相对 Gromov-Witten 不变量生成函数满足的两个微分方程。其中一个恢复了 Getzler 和 Vakil 的微分方程。