射影空间中有理曲线与椭圆曲线的计数几何

我们研究了参数化$\mathbb{P}^n$中次数为$d$的有理曲线与椭圆曲线的簇的几何性质，这些曲线与固定的普通线性空间相交，并以固定的重数沿$H$的固定普通线性子空间与固定的超平面$H$相切。作为应用，当曲线数目有限时，我们推导了其数目的递归公式。这些递归公式仅需一个“种子数据”：在$\mathbb{P}^1$中通过两点的直线有一条。这些数目可视为$\mathbb{P}^n$中次数为$d$的有理曲线或椭圆曲线的Hilbert概形上，或$\mbar_0(\mathbb{P}^n,d)$或$\mbar_1(\mathbb{P}^n,d)$的某些分支上，各种闭链的顶部交积，并因此提供了这些对象的Chow环（进而拓扑）的信息。该公式也可解释为相应Hilbert概形或稳定映射空间的Chow环（不一定在顶部）中的一个等式。特别地，这给出了一个算法，用于计数$\mathbb{P}^n$中与各种固定普通线性空间相交的有理曲线和椭圆曲线。（亏格0的数目由Kontsevich-Manin更早发现；亏格1的数目，当$n=2$时由Ran和Caporaso-Harris发现，当$n=3$时由Getzler独立发现。）