Riemannian 叶状结构上的共形积分不变量

设 $M$ 为一个闭流形，其上具有余维数 $q\geq 2$ 的叶状结构 $\mathcal{F}$ 以及一个丛状度量 $g_0$。设 $[g_0]_B$ 为丛状度量空间，这些度量仅在水平方向上与 $g_0$ 相差一个正基本函数的倍数。假设 $Y$ 是一个横向共形向量场，且 $(M,\mathcal{F},g_0)$ 的叶的平均曲率为零。我们证明积分 $\int_MY(R^T_{g^T})d\mu_g$ 与 $g\in [g_0]_B$ 的选取无关，其中 $g^T$ 是由 $g$ 诱导的横向度量，$R^T$ 是横向标量曲率。此外，若 $q\geq 3$，则对任意 $g\in [g_0]_B$，有 $\int_MY(R^T_{g^T})d\mu_g=0$。然而，存在余维数 2 的极小 Riemannian 叶状结构 $(M,\mathcal{F},g)$ 及横向共形向量场 $Y$，使得 $\int_MY(R^T_{g^T})d\mu_g\neq 0$。因此，这是余维数 2 的极小 Riemannian 叶状结构上横向 Yamabe 问题的一个非平凡障碍。