带边界流形上 Dirac 型算子的 eta 不变量、Maslov 指数与谱流

已有若干关于 Dirac 算子的 eta 不变量的模 Z 粘接公式的证明发表。然而,迄今为止文献中 eta 不变量粘接公式的整数贡献仍是模糊的。在本文中,我们给出 eta 不变量的一个粘接公式,它将整数贡献表示为涉及边界条件与分解的两部分的 Calderon 投影算子的三重指数。我们论述的主要要素是带边界流形上 Dirac 算子行列式的 Scott-Wojciechowski 定理以及 Bruning-Lesch 对模 Z 粘接公式的处理。我们的论述包含辛 Hilbert 空间中 Maslov 指数与三重指数的仔细构造。作为副产品,我们给出 Nicolaescu 关于 Dirac 算子谱流的两个定理的直观证明。作为我们方法的应用,我们利用绝热方法对耦合一平坦联络的奇签名算子的 eta 不变量进行详细分析。这用于将 Atiyah-Patodi-Singer rho 不变量的定义推广到带边界流形。我们导出 Atiyah-Patodi-Singer rho 不变量的一个“非可加性”公式,并将其与 Wall 的偶维流形签名的非可加性公式相联系。