带测度叶状结构的Atiyah Patodi Singer指标公式

设$X_0$是一个带边界的紧致黎曼流形，其上带有一个定向的、测度的、偶数维的叶状结构，且该叶状结构与边界横截。设$X$是通过粘合柱面并延拓叶状结构得到的流形。我们证明Dirac型算子的$L^2$测度指标是良定义的，并且以下Atiyah Patodi Singer指标公式成立：$$ind_{L^2,\Lambda}(D^+) = <\widehat{A}(X,\nabla)Ch(E/S),C_\Lambda> + 1/2[\eta_\Lambda(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_\Lambda + h^-_\Lambda].$$ 这里$\Lambda$是一个和乐不变横截测度，$\eta_{\Lambda}(D^{\mathcal{F}_{\partial}})$是叶状边界算子的Ramachandran eta不变量\cite{Rama}，而$\Lambda$维数$h^\pm_\Lambda$（延拓解的极限值空间的）是通过叶状结构等价关系的平方可积表示（取值于叶上加权Sobolev空间）适当定义的。