带测度叶状结构的Atiyah-Patodi-Singer符号公式

设$(X_0,\mathcal{F}_0)$是一个带边界的紧流形，其上赋予一个叶状结构$\mathcal{F}_0$，该叶状结构是测度的且横截于边界。我们用$\Lambda$表示$(X_0,\mathcal{F}_0)$上的一个完整不变横截测度，用$\mathcal{R}_0$表示该叶状结构的等价关系。设$(X,\mathcal{F})$为相应的带柱状端和扩展叶状结构的流形，其等价关系为$\mathcal{R}$。本文第一部分，我们证明了$X$上纵向Dirac型算子$D^{\mathcal{F}}$的$L^2$-$\Lambda$指标的一个公式，其精神源于Alain Connes的非交换几何：$ind_{L^2,\Lambda}(D^{\mathcal{F},+}) = <\hat{A}(T\mathcal{F})Ch(E/S),C_\Lambda> + 1/2[\eta_\Lambda(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_{\Lambda} + h^-_{\Lambda}].$