等差积矩阵和的行列式恒等式

我们推导了两个 $n\times n$ 矩阵行列式和的等式，其中矩阵 $A$ 和 $B$ 的条目是通过 contours 积分定义的。具体而言，我们考虑 $A(i,j)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_0 z^{i-j-1}p_i(z)f_j(z)\mathrm{d} z$ 和 $B(i,j)= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\Gamma} q_i(z)g_j(z) \mathrm{d} z$。在对函数 $p,q,f,g$ 进行适当假设后，我们证明 $\det(A+B)$ 可以表示为 Fredholm 行列式 $\det(\mathrm{I} +K)$，其中 $K$ 是作用于 contour $\Gamma$ 的积分核。这一结果推广了最近在 \cite{Baik-Liao-Liu26} 中获得的等式。