自伴算子的 zeta 与 Fredholm 行列式

设 $L$ 为 Hilbert 空间中的自伴可逆算子,使得 $L^{-1}$ 是 $p$-可和的。在关于 $L$ 的某种离散维数谱假设下,我们研究一方面(正则化的)Fredholm 行列式 $\det_{p}(I+z\cdot L^{-1})$ 与另一方面 zeta 正则化行列式 $\det_{\zeta}(L+z)$ 之间的关系。主要结果之一为公式 \begin{equation*} \frac{\det_{\zeta} (L + z)}{\det_{\zeta} (L)} = \exp \left( \sum_{j=1}^{p-1} \frac{z^j}{j!} \cdot \frac{d^j}{dz^j} \log \det\nolimits_{\zeta} (L+z) |_{z=0} \right) \cdot \det\nolimits_{p}(I + z \cdot L^{-1} ). \end{equation*} 我们证明导数 $\frac{d^j}{dz^j} \log \det\nolimits_{\zeta} (L+z) |_{z=0}$ 可用 $L$ 的(正则化)zeta 值与热迹系数表示。此外,我们给出一个基于热迹系数的通用判据(例如对大类椭圆算子成立),它保证 Fredholm 行列式 $\log\det_{p} (I+z\cdot L^{-1})$ 渐近展开中的常数项等于 $L$ 的 zeta 行列式。