关于 H+A*+A 的自伴性

设 $H:D(H)\subseteq{\mathscr F}\to{\mathscr F}$ 为自伴算子,且设 $A:D(H)\to{\mathscr F}$(扮演湮灭算子的角色)为 $H$-有界。在关于 $A$ 的一些附加假设下(使得产生算子 $A^{*}$ 成为 $H$ 的奇异扰动),通过两次应用预解式 Krein 型公式,我们构造了形式哈密顿量 $H+A^{*}+A$ 的自伴实现 $\hat H$,满足 $D(H)\cap D(\hat H)=\{0\}$。我们给出了 $D(\hat H)$ 的显式刻画,并提供了预解式差 $(-\hat H+z)^{-1}-(-H+z)^{-1}$ 的公式。此外,我们考虑将 $\hat H$ 描述为形如 $H+A^{*}_{n}+A_{n}+E_{n}$ 的序列的(范数预解式)极限的问题,其中 $A_{n}\!$ 是逼近 $A$ 的正则化算子,$E_{n}$ 是适当的重整化有界算子。这些结果展示了用 Krein 预解式公式构造自伴算子的奇异扰动与量子场论中可重整化模型的非微扰理论之间的联系;特别地,作为一个显式例子,我们考虑了 Nelson 模型。