自伴算子的奇异扰动的一个类 Krein 公式及其应用

给定自伴算子 $A:D(A)\subseteq\calH\to\calH$ 与连续线性算子 $\tau:D(A)\to\X$（其中 $\X$ 为 Banach 空间，且 Range$\tau'\cap\calH' ={0}$），我们显式构造出一族自伴算子 $A^\tau_\Theta$，使得任一 $A^\tau_\Theta$ 在原算子 $A$ 的核上与 $A$ 一致。该族是通过给出一个类 Kre\u\i n 公式得到的，其中亏空间的作用由对偶对 $(\X,\X')$ 扮演；参数 $\Theta$ 属于从 $\X'$ 到 $\X$ 的对称算子空间。当 $\X=\C$ 时，我们重新得到 Kiselev 与 Simon 的“$\calH_{-2}$ 构造”，因此在一定程度上，我们的结果可视为其对无限秩情形的推广。考虑 $\calH=L^2(\RE^n)$ 且 $\tau$ 为沿某零测集的迹（限制）算子之情形，我们给出对非未必为椭圆拟微分算子的奇异扰动的多种应用，从而统一并推广了先前已知的结果。