阶数 $\leq 1$ 扰动与非交换几何的 Feynman-Kac 公式

设 $Q$ 为复度量向量丛 $\mathscr{E}\to \mathscr{M}$ 上阶数 $\leq 1$ 的微分算子，该丛带有度量联络 $\nabla$，底流形 $\mathscr{M}$ 可为非紧黎曼流形。在对 $Q$ 作极温和的正则性假设（保证 $\nabla^{\dagger}\nabla/2+Q$ 在 $\Gamma_{L^2}(\mathscr{M},\mathscr{E})$ 中生成全纯半群 $\mathrm{e}^{-zH^{\nabla}_{Q}}$，其中 $z$ 取包含 $[0,\infty)$ 的复扇形）下，我们证明了对 $\mathrm{e}^{-tH^{\nabla}_{Q}}$（$t>0$）的显式 Feynman-Kac 型公式，推广了 $Q$ 为自伴零阶算子的标准自伴理论。对紧 $\mathscr{M}$，我们将此公式与 Berezin 积分结合，导出形如 $$\mathrm{Tr}\left(\widetilde{V}\int^t_0\mathrm{e}^{-sH^{\nabla}_{V}}P\mathrm{e}^{-(t-s)H^{\nabla}_{V}}\mathrm{d} s\right),$$ 的算子迹的 Feynman-Kac 型公式，其中 $V,\widetilde{V}$ 为零阶，$P$ 阶数 $\leq 1$。这些公式随后被用于获得紧偶维黎曼自旋流形的等变 Chern 特征（JLO-余循环的微分分次扩张）低阶项的概率表示，其与循环同调相结合在此类流形环路空间上的 Duistermaat-Heckmann 局部化公式语境中扮演关键角色。