论横截椭圆算子与具有 $f$-结构的流形的量子化

流形 $M$ 上的一个 $f$-结构是一个自同态场 $\phi\in\Gamma(M,\End(TM))$，满足 $\phi^3+\phi=0$。任何 $f$-结构 $\phi$ 确定了一个由 $\phi$ 的 $+i$ 特征丛给出的几乎CR结构 $E_{1,0}\subset T_\C M$。利用 $M$ 上的相容度量 $g$ 和联络 $\nabla$，我们构造了一个奇异的、一阶微分算子 $D$，它作用于 $\S=\Lambda E_{0,1}^*$ 的截面上，其主象征属于 arXiv:0810.0338 中考虑的类型。在CR可积的几乎 $\S$-结构的特殊情况下，我们证明当 $\nabla$ 是 Lotta 和 Pastore 的广义 Tanaka-Webster 联络时，算子 $D$ 由 $D = \sqrt{2}(\dbbar+\dbbar^*)$ 给出，其中 $\dbbar$ 是切向 Cauchy-Riemann 算子。然后，我们描述了具有 $f$-结构的流形的两种“量子化”，它们在 $\phi$ 是相容的殆复结构的情况下退化为辛几何中的熟悉方法，并在 $\phi$ 来自接触度量结构的情况下退化为 \cite{F4} 中定义的接触量子化。第一种是基于算子 $D$ 的指标理论方法；对于某些群作用，$D$ 将是横截椭圆的，利用 arXiv:0810.0338 中的结果，我们可以给出其指标的 Riemann-Roch 型公式。第二种方法使用预量子线丛的极化截面的类比，其中CR结构扮演复极化的角色。