膜微分几何的 Clifford 丛方法

本文首先利用微分形式的 Clifford 丛形式体系 (CBF) 及作用于 $\mathcal{C\ell}(M,g)$ 的扩张子理论，来表述装备有符号为 $(p,q)$ 的度规场 $\boldsymbol{g}$ 和任意相容度规联络 $\nabla$ 的微分流形 $M$ 的内蕴几何，其中引入了挠率 (2-1)-扩张子场 $\tau$、曲率 (2-2)-扩张子场 $\mathfrak{R}$，以及（在固定规范后）联络 (1-2)-扩张子 $\omega$ 和 Ricci 算子 $\boldsymbol{\partial}\wedge\boldsymbol{\partial}$（其中 $\boldsymbol{\partial}$ 是作用于 $\mathcal{C\ell}(M,g)$ 截面的 Dirac 算子），该算子在本文中起着重要作用。接着，利用 CBF，我们详尽地阐述了生活在流形 $\mathring{M}$（其中 $\mathring{M}\simeq\mathbb{R}^{n}$ 装备有符号为 $(\mathring{p},\mathring{q})$ 且 $\mathring{p}+\mathring{q}=n$ 的半黎曼度规 $\boldsymbol{\mathring{g}}$ 及其 Levi-Civita 联络 $\mathring{D}$）中的可定向子流形 $M$（$\dim M=m$）的黎曼几何或洛伦兹几何，其中定义了度规 $\boldsymbol{g=i}^{\ast}\mathring{g}$，$\boldsymbol{i}:$ $M\rightarrow \mathring{M}$ 为包含映射。我们证明了 $M$ 的曲率算子 $\mathfrak{R}$ 的几种等价形式。结果表明，$M$ 的 Ricci 算子等于 $M$ 的形状算子 $\mathbf{S}$ 的（负）平方。此外，我们揭示了联络 (1-2)-扩张子 $\omega$ 与形状双形式 $\mathcal{S}$（一个与 $\mathbf{S}$ 相关的对象）之间的关系。我们希望我们的阐述能对关注弦论、膜论及相对论等领域的微分几何学家和理论物理学家有所助益。