旋量丛上一个新的 $\frac{1}{2}$-Ricci 型公式及其应用

考虑一个黎曼旋量流形 $(M^{n}, g)$ $(n\geq 3)$，其上赋予一个非平凡 3-形式 $T\in\Lambda^{3}T^{*}M$，满足 $\nabla^{c}T=0$，其中 $\nabla^{c}:=\nabla^{g}+\frac{1}{2}T$ 是具有斜挠率 $T$ 的度量联络。本文中，我们针对 Ricci 自同态 ${\rm Ric}^{s}(X)$ 的旋量作用，引入了一个广义 $\frac{1}{2}$-Ricci 型公式，该自同态由单参数度量联络族 $\nabla^{s}:=\nabla^{g}+2sT$ 诱导。这一新恒等式推广了 Th. Friedrich 和 E. C. Kim 关于黎曼 Ricci 自同态作用于旋量场的结果，并使我们能够展示一系列应用。例如，在 $\nabla^{c}T=0$ 条件下，我们描述了与由 $\nabla^{s}$ 诱导的 Dirac 算子 $D^{s}$ 的平方相关的广义 Schrödinger-Lichnerowicz 公式的一个新替代证明。在相同情形下，我们给出了 $\nabla^{s}$-平行旋量、$\nabla^{c}$-平行旋量以及带挠率扭量旋量的可积性条件。我们针对满足假设的一些非可积结构，例如 5 维、6 维和 7 维的 Sasakian 流形、近 Kähler 流形和近平行 ${\rm G}_2$-流形，分别阐释了我们的结论。