具有广义正数量曲率的 spin$^c$ 流形的分类

假设 $M$ 是一个具有 spin$^c$ 结构 $\sigma$ 和相关 spin$^c$ 线丛 $L$ 的闭 $n$ 维 spin$^c$ 流形。如果在 $M$ 上固定一个 Riemannian 度量 $g$，并在 $L$ 上固定一个联络 $\nabla_L$，则 $(M,L)$ 的广义标量曲率 $R^{\text{gen}}$ 定义为 $R_g - 2|\Omega_L|_{\text{op}}$，其中 $|\Omega_L|_{\text{op}}$ 是 $\nabla_L$ 的曲率 $2$-形式 $\Omega_L$ 作用于旋子的逐点算子范数。在先前的一篇论文中，我们证明了 $R^{\text{gen}}$ 的正性受到 $(M,g,L,\nabla_L)$ 上 spin$^c$ Dirac 算子指标非零性的阻碍，并且在某些情况下，该指标的消失性保证了存在一对具有正广义标量曲率的 $(g,\nabla_L)$。基于此以及受 spin 流形上正标量曲率理论中发展出的外科手术技术启发，我们证明了：如果 $\dim M = n \ge 5$，如果 $M$ 的基本群 $\pi$ 属于包含曲面群和具有周期上同调的有限群的一大类群，并且如果 $M$ 是完全非 spin 的（意味着万有覆叠不是 spin 的），那么 $(M,L)$ 容许正广义标量曲率当且仅当 $(M,L)$ 的广义 $\alpha$-不变量在 $K$-同调群 $K_n(B\pi)$ 中消失。我们还开发了 Stolz 序列的类似物，用于计算正广义标量曲率度量的协和类群，并将其与 Roe 和 Higson 的解析外科手术序列联系起来。最后，我们给出了在正广义标量曲率度量的模空间上的若干应用。