Gromov-Lawson 猜想的一个“稳定”版本

我们讨论 Gromov 与 Lawson 提出、后经 Rosenberg 修正的关于正标量曲率度量存在性的猜想。该猜想称：维数 $n\ge 5$ 的闭自旋流形 $M$ 具有此类度量，当且仅当某个合适的“Dirac”算子在实数 $K$-理论群 $KO_n(C^* (\pi_1(M)))$（即 $M$ 的基本群群 $C^*$-代数的实 $K$-理论）中的指标为零。已知指标的消失是 $M$ 上存在正标量曲率度量的必要条件，但仅当 $\pi_1(M)$ 为平凡群、$\Bbb Z/2$、奇阶循环群或相当小一类无挠群时，才已知其为充分条件。\par 我们注意到群 $KO_n(C^*(\pi))$ 关于 $n$ 以 $8$ 为周期周期性变化，而原几何问题中并无明显的周期性。这促使我们引入 Gromov-Lawson 猜想的一个“稳定”版本，其较弱地表述为：$M$ 与足够多个“Bott 流形” $B$ 的笛卡儿积具有正标量曲率度量，当且仅当 $M$ 上 Dirac 算子的指标为零。（此处 $B$ 是一个单连通的 $8$-维流形，代表 $KO_8(pt)$ 中的周期元。）我们证明了稳定 Gromov-Lawson 猜想对所有具有限基本群的自旋流形以及许多具无限基本群的自旋流形成立。