一个定量的相对指标定理与格罗莫夫关于正数量曲率的猜想

本文中，我们证明了一个定量的相对指标定理。它为研究格罗莫夫(Gromov)关于正数量曲率的一些猜想和开放问题提供了概念性框架。更确切地说，我们证明了在去掉某些类型子集的球面(可能不完整)的黎曼度量上的一个 $\lambda$-Lipschitz 刚性定理。该 $\lambda$-Lipschitz 刚性定理是渐近最优的。作为推论，我们得到了半球的带正数量曲率度量上的一个渐近最优的 $\lambda$-Lipschitz 刚性定理。这些对格罗莫夫提出的相应开放问题给出了肯定回答。作为另一应用，我们以次优常数证明了格罗莫夫关于具有立方体状边界的自旋流形相对面间距离上界的 $\square^{n-m}$ 不等式。作为直接推论，这蕴含了格罗莫夫关于黎曼立方体宽度上界的立方体不等式，以及格罗莫夫关于黎曼带宽度上界的猜想(均带次优常数)。进一步的几何应用将在后续论文中讨论。