具有斜挠率的不变联络与 $\nabla$-Einstein 流形

对于紧致连通 Lie 群 $G$，我们研究了过 $e\in G$ 的测地线为单参数子群的双不变仿射联络类。我们证明了在相应 Lie 代数 $\frak{g}$ 上诱导导子的双不变仿射联络与双不变度量联络一致。接下来，我们描述了自然可约空间 $(M=G/K, g)$ 的几何，该空间装备了一族 $G$-不变联络 $\nabla^{\alpha}$，其挠率是典范联络 $\nabla^{c}$ 挠率的倍数。对于球面 ${\rm S}^{6}$ 和 ${\rm S}^{7}$，我们证明了 ${\rm G}_2$（ resp. ${\rm Spin}(7)$）-不变仿射或度量联络的空间由族 $\nabla^{\alpha}$ 组成。随后，我们考察了诱导 Ricci 张量 ${\rm Ric}^{\alpha}$ 的“常性”，并证明了任何非 I 型对称空间的紧致单连通等距不可约标准齐次 Riemann 流形，对于任意 $\alpha\in\mathbb{R}$ 都是 $\nabla^{\alpha}$-Einstein 流形。我们还为具有两个等距和支量的一类紧致齐次空间 $M=G/K$ 提供了 $\nabla^{\pm 1}$-Einstein 结构的例子。