李群上的特殊双不变线性联络与有限维泊松结构

设$G$为连通李群，$\mathfrak{g}$为其李代数。我们用$\nabla^0$表示$G$上由$\nabla^0_XY=\frac12[X,Y]$给出的无挠双不变线性联络，其中$X,Y$为任意左不变矢量场。$\mathfrak{g}$上的泊松结构是指$\mathfrak{g}$上的一种交换且结合的乘积，使得对于任意$u\in\mathfrak{g}$，$\mathrm{ad}_u$均为导子。若$G$上的无挠双不变线性联络具有与$\nabla^0$相同的曲率，则称其为特殊的。我们证明了$G$上特殊联络的空间与$\mathfrak{g}$上泊松结构的空间之间存在双射。我们计算了特殊联络的和乐李代数，并表明与具有和$\nabla^0$相同和乐李代数的特殊联络相关联的泊松结构具有有趣的性质。最后，我们研究了李代数上的泊松结构，并给出了大量实例，当然这也对应了大量特殊联络的实例。